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Geometria

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geometry

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Anno accademico 2020/2021

Codice dell'attività didattica
MFN0703
Docenti
Dott. Luciano Mari (Titolare del corso)
Prof. Domenico Zambella (Titolare del corso)
Corso di studi
(f008-c715) laurea i^ liv. in ottica e optometria -a torino
Anno
1° anno
Periodo didattico
Secondo periodo didattico
Tipologia
Di base
Crediti/Valenza
6
SSD dell'attività didattica
MAT/03 - geometria
Modalità di erogazione
Mista
Lingua di insegnamento
Italiano
Modalità di frequenza
Facoltativa
Tipologia d'esame
Scritto ed orale
Prerequisiti
Elementi di algebra e geometria elementari
Basics of elementary algebra and geometry.
Propedeutico a
Si richiede agli studenti una solida formazione di base che consentirà loro di gestire con competenza le più avanzate attrezzature ottico-optometriche.
Students are required a sound basic competence that will enable them to competently handle the most advanced optical-optometric equipment.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio previsti dalla scheda SUA-CdS, ci si aspetta che lo comprenda le nozioni di base della geometria analitica del piano e dello spazio.

In particolare, ci si aspetta che lo studente apprenda il concetto riferimento e sappia usare coordinate per rappresentare enti geometrici elementari.
Inoltre, che acquisisca familiarità con la soluzione di sistemi linerari e che sappia interpretare le soluzioni alla luce del problema geometrico di partenza.

Coherently with the didactic goals of the Course of Study planned by the SUA, CdS frames, it is expected that the student acquires familiarity with the basic notions of analytic geometry in the plane and 3D space.

In particular, the student is asked to understand the concept of frame and to be able to use coordinates to describe the basic geometric entities. Furthermore, the student is expected to be able to solve linear systems and to interpret their solutions in the light of the problem at hand.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Capacità di applicare conoscenza e comprensione della geometria alla utilizzazione della strumentazione più avanzata nell'ambito della raccolta e del trattamento dati in ottica e optometria.

Knowledge and understanding of basic analytic geometry. Skill in applying knowledge and understanding of the geometry to the use of the most advanced instrumentation in the field of data collection and data processing in optics and optometry.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento è articolato in 48 ore di lezione. Ampio spazio viene riservato agli esempi ed agli esercizi. Le lezioni saranno caricate su opportune piattaforme didattiche, e rese disponibili online agli studenti. Nella possibilità di svolgere attività in presenza, saranno privilegiati incontri di esercitazione / tutoraggio con gruppi di studenti.

https://unito.webex.com/unito/j.php?MTID=mfdeee3dc8f0c81257131bdc2a1786c21


Password: knVEbn38eZ6

The course is articulated in 48 hours. A substantial part of the lessons will be dedicated to examples and exercises. Lessons will be located in suitable didactic online support, and made available to students. In the possibility of delivering some formal in-class lectures, priority will be given to meetings with groups of students for exercises / tutoring.

 

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Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è costituito da una prova scritta ed una orale, che vertono su tutto il programma. La prova scritta è costituita da esercizi ed è valutata in trentesimi; per superarla occorre conseguire un punteggio di almeno 16/30.   Si accede alla prova orale solo se la prova scritta è sufficiente.    La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti svolti durante il corso e , in particolare , la discussione della prova scritta.

LE MODALITÀ DI EROGAZIONE DELL' ESAME SCRITTO ED ORALE TRAMITE WEBEX, dovute all'emergenza Coronavirus, VERRANNO INDICATE SULLA PIATTAFORMA MOODLE.

 

The  examination consists of a written and an oral exam . The written part consists of exercises and is graded in 30-ths; to pass it, the student needs to score at least 16/30 . The access to the oral test is allowed only if the written exam is sufficient. The oral test consists in the discussion of the written test.

THE ORGANIZATION OF THE SCRIPT AND ORAL EXAMS VIA WEBEX, made necessary in view of the Coronavirus emergency, WILL BE DETAILED IN THE MOODLE PLATFORM.

 

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Programma

Geometria Euclidea: il concetto di assioma e teorema. Uso di coordinate e riferimenti.
Numeri naturali, interi, razionali e reali, e loro relazioni con i punti di una retta. Riferimenti su retta S1, piano S2 e spazio S3, I.

Lo spazio Rn, equazioni e sistemi lineari, soluzioni di un sistema. Matrice dei coefficienti. Metodo di Gauss-Jordan
Riduzione a scala di una matrice: elementi di pivot e rango di una matrice. Teorema di Rouche'-Capelli. Sistemi omogenei e struttura dell' insieme delle soluzioni.

Matrici: somma, prodotti e loro proprietà. Matrice trasposta e matrice inversa. Equazioni matriciali e calcolo dell'inversa con Gauss-Jordan. Invertibilità e rango.

Spazi vettoriali e loro proprietà. Lo spazio dei vettori di S1, S2 e S3. Sottospazi vettoriali. Dipendenza e indipendenza lineare, insiemi liberi e generatori, basi. Riferimenti in S1,S2 ed S3, II.
Teoremi sulle basi. Dimensione di uno spazio vettoriale. Spazio delle righe e delle colonne di una matrice, teorema della nullità più rango.
Cambiamenti di base: relazione fra le coordinate rispetto a due basi differenti.
Prodotti scalari e loro proprietà, angolo fra due vettori. Insiemi e basi ortonormali, componenti, lunghezze di vettori.
Cambiamenti di basi ortonormali. Matrici ortogonali.
Costruzione di basi ortonormali: metodo di Gram-Schmidt.

Geometria nel piano. Riferimento ortogonale e coordinate cartesiane dei punti. Vettore per due punti. Rappresentazione parametrica e non parametrica di una retta, parallelismo e perpendicolarità tra 2 rette. Retta per due punti, punto medio di un segmento, asse di un segmento. Distanze fra punti e rette.
Coniche: circonferenza, centro e raggio. Rette tangenti ad una circonferenza e passanti per un punto dato.
Circonferenza passante per tre punti non allineati.
Ellisse ed iperbole in forma canonica: semiassi, fuochi e proprietà focale. Iperbole equilatera riferita agli assi.
Parabola in forma canonica: fuoco, direttrice e proprietà focale.

Geometria nello spazio.
Riferimento ortogonale. Equazione parametrica e non parametrica di rette e piani nello spazio. Intersezioni di tre piani e soluzioni di un sistema. Intersezioni fra rette e piani. Intersezioni fra rette.
Distanza punto-retta e punto-piano.
Distanza retta-piano e retta-retta. Angoli fra rette e piani incidenti.

Determinanti di matrici 2x2 e 3x3. Significato geometrico e calcolo (regola di Sarrus). Basi orientate positivamente rispetto alla base canonica.

Dipendendo dal tempo a disposizione, il programma della parte finale sarà scelto fra i seguenti due: 

1) Sfere: centro e raggio. Intersezioni retta-sfera, piano-sfera e sfera-sfera. Coni su una conica: il cono tangente (circoscritto) ad una sfera. Coniche come sezioni di un cono con un piano. Cilindri: il cilindro tangente (circoscritto) ad una sfera. Altre quadriche importanti (esempi in forma canonica).

2) Riconoscimento di una conica nel piano in forma non canonica. Scrittura della conica in forma matriciale. Cenni su autovettori ed autovalori di una matrice, ortogonalità di autovettori in autospazi differenti. Calcolo di autovalori/autovettori di una matrice 2x2 e determinazione degli assi principali della conica. La conica nelle coordinate riferite agli assi principali, e suo riconoscimento.

Euclidean Geometry.: the notion of axioms and theorems. Use of coordinates and frames.

Natural, integer, rational and real numbers, and their relation with the points of a line. Frames on the Euclidean line S1, the Euclidean plane S2 and the Euclidean space S3.

The space Rn, linear systems, solutions of a linear system. Matrix of coefficients. Gauss-Jordan method.
Row reduction of a matrix: pivot elements and rank. Rouche'-Capelli's theorem. Homogeneous systems and the structure of the set of solutions.

Matrices: sum, products and their properties. Transpose and inverse of a matrix. Matrix equations and computation of the inverse of a matrix with Gauss-Jordan. Invertibility and rank.

Vector spaces and their properties. The space of vectors of S1, S2 and S3. Vector subspaces. Linear dependence and independence, free sets and generators, bases. Frames in S1,S2 ed S3, II.
Theorems about bases in a vector space. Dimension of a vector space. Space of lines and columns of a matrix: the rank+nullity theorem. Change of bases, and the relation between the induced coordinates

Scalar products and their properties, angle between vectors. Orthonormal sets and bases, components, lengths. Changes of orthonormal frames: orthogonal matrices. Gram-Schmidt orthonormalization method.

Geometry in the plane S2.
Orthonormal frame and coordinates of points. Vector joining two points. Parametric and non-parametric expression of a line, parallelism and orthogonality between two lines. Line passing for two points, middle point of a segment, axis of a segment. Distance between points and lines.

Conic sections:
circle, center and radius. Tangent lines to a circle that pass through a given point. Circle passing through 3 given points;
ellipse and hyperbola in a canonical form: semiaxes, foci and focal property. Equilatera hyperbola referred to the xy axes;
parabola in a canonic form: focus, direttrix and focal property.

Geometry in the space S3.
Orthonormal frames. Parametric and nonparametric equations of planes and lines. Intersection of 3 planes and solutions of a system. Intersection between a line and a plane. Intersection between lines.
Distance point-line and point-plane. Distance line-plane and line-line. Angles between crossing lines and between crossing planes.

Determinants of matrices 2x2 and 3x3: Geometric meaning and computation (Sarrus rule). Bases that are positively oriented with respect to the canonical one.


The program of the concluding part will be chosen among the following two possibilities, depending on the time left.

1) Spheres: Center and radius. Intersections line-sphere, plane-sphere and sphere-sphere.  Cones over a conic: the cone tangent (circumscribed) to a sphere. Conics as sections of a cone with a plane. Cylinder: the cylinder tangent (circumscribed) to a sphere. Other relevant quadrics (example in canonic form)

2) Identification of a conic in non-canonical form. The matrix form of a conic. Basics about eigenvectors and eigenvalues of a matrix, orthogonality of eigenvectors belonging to different subspaces. Computation of eigenvectors/eigenvalues for 2x2 matrices and determination fo the principal axes of a conic. The conic in the new coordinates referred to the principal frame, and its identification.

 

Testi consigliati e bibliografia

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Testi di consultazione:

Algebra lineare: A First Course in Linear Algebra

Geometria:  E.Abbena, A.M.Fino, G.M.Gianella, Algebra lineare e Geometria Analitica, Vol I, Aracne Ed, 2012

Un ulteriore testo di consultazione per applicazioni ed esercizi: Linear Algebra with Applications.

Prendere appunti a lezione è fondamentale.

 



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Note

Orario di ricevimento: su appuntamento.

Le modalità di svolgimento dell'attività didattica potranno subire variazioni in base alle limitazioni imposte dalla crisi sanitaria in corso. In ogni caso è assicurata la modalità a distanza per tutto l'anno accademico

Office hours: by appointment. 

The way in which the teaching activity is carried out may change according to the limitations imposed by the ongoing health crisis. In any case, the online mode is guaranteed throughout the academic year.

 

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Ultimo aggiornamento: 07/03/2021 14:23
Location: https://otticaeoptometria.campusnet.unito.it/robots.html
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