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Analisi Matematica

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Mathematical Analysis

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Anno accademico 2023/2024

Codice attività didattica
MFN0702
Docenti
Stefano Vita (Titolare del corso)
Camillo Costantini (Titolare del corso)
Corso di studio
(f008-c715) laurea i^ liv. in ottica e optometria -a torino
Anno
1° anno
Periodo
Primo periodo didattico
Tipologia
Di base
Crediti/Valenza
8
SSD attività didattica
MAT/05 - analisi matematica
Erogazione
Tradizionale
Lingua
Italiano
Frequenza
Facoltativa
Tipologia esame
Scritto
Prerequisiti
L’insegnamento prevede la conoscenza dei contenuti di matematica di base forniti dalla scuola secondaria di secondo grado.
In particolare, a livello di conoscenze e comprensione in ingresso lo studente dovrà:
- conoscere i concetti di base sulla retta;
- conoscere le funzioni potenze, esponenziali e logaritmiche e le loro proprietà algebriche e grafiche;
- conoscere gli elementi essenziali di trigonometria (misure degli angoli in radianti, grafici delle funzioni circolari).
Inoltre, come applicazione di conoscenza e comprensione, lo studente dovrà saper:
- tracciare il grafico delle funzioni lineari, quadratiche, esponenziali, logaritmiche, circolari;
- risolvere equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche, anche per via grafica;
- trasformare la misura di un angolo da gradi a radianti e viceversa;
- determinare dominio, immagine, zeri e segno, monotonia di una funzione a partire dal suo grafico.

The teaching requires knowledge of the basic mathematics content provided by the upper secondary school.
In particular, in terms of knowledge and understanding at the entrance the student will have to:
- know the basic concepts of the straight line;
- know the power, exponential and logarithmic functions and their algebraic and graphical properties;
- know the essential elements of trigonometry (measurements of angles in radians, graphs of circular functions).
Furthermore, as an application of knowledge and understanding, the student should be able to:
- draw the graph of linear, quadratic, exponential, logarithmic, circular functions;
- solve equations and inequalities of first and second degree, exponential, logarithmic and trigonometric, also graphically;
- transform the measurement of an angle from degrees to radians and vice versa;
- determine domain, image, zeros and sign, monotonicity of a function starting from its graph.
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Sommario insegnamento

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Obiettivi formativi

L'insegnamento ha lo scopo di presentare i principali argomenti dell'analisi matematica di base quali le nozioni di base su funzioni, grafici e loro trasformazioni, di introdurre i concetti di limite, continuità, calcolo differenziale e integrale. L'insegnamento intende inoltre illustrare alcune applicazioni della teoria e fornire le metodologie per la risoluzione di problemi ed esercizi.

L’insegnamento concorre agli obiettivi della formazione teorica di base, con particolare riferimento alla capacità di costruire ragionamenti logici, riconoscere argomentazioni corrette, ed in parte a quella pratico-laboratoriale, con la capacità di analizzare modelli matematici.

The course aims to present the main topics of basic mathematical analysis such as the basic notions of functions, graphs and their transformations, to introduce the concepts of limit, continuity, differential and integral calculus. The course also intends to illustrate some applications of the theory and provide methodologies for solving problems and exercises.

The teaching contributes to the objectives of the basic theoretical training, with particular reference to the ability to build logical reasoning, recognize correct arguments, and in part to the practical-laboratory one, with the ability to analyze mathematical models.

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Risultati dell'apprendimento attesi

Conoscenza e comprensione

Alla fine di questo insegnamento lo studente dovrà:

  • riconoscere i grafici e le proprietà asintotiche delle funzioni elementari e saperne individuare gli aspetti fondamentali
  • conoscere la definizione di limite, il suo significato, le sue interpretazioni grafiche e ricordare i principali risultati teorici sui limiti
  • conoscere la definizione di derivata, le sue varie interpretazioni, i principali risultati sul calcolo differenziale
  • spiegare il problema dell’approssimazione lineare locale di una funzione in un punto
  • descrivere la definizione di integrale definito di una funzione su un intervallo e le sue interpretazioni
  • enunciare il Teorema fondamentale del calcolo integrale ed interpretarlo criticamente, evidenziando la sua centralità rispetto alle nozioni di derivata e integrale definito
  • conoscere il significato di un’equazione differenziale, la sua rilevanza in termini di modello matematico e saper discutere la risolubilità, anche approssimata, di alcune classi di equazioni differenziali

Applicare conoscenza e comprensione

Alla fine di questo insegnamento lo studente avrà sviluppato capacità di lavorare sia su aspetti grafici sia su aspetti di calcolo, approssimato o esatto.

In particolare, a livello di grafici saprà:

  • ottenere dal grafico di una funzione il grafico di nuove funzioni, mediante trasformazioni geometriche o mediante l’uso delle proprietà delle funzioni composte
  • tracciare il grafico della derivata di una funzione a partire dal grafico della funzione stessa, analizzando in modo critico i legami tra una funzione e la sua derivata
  • tracciare il grafico delle primitive di una funzione a partire dal grafico della funzione stessa, analizzando in modo critico i legami tra una funzione e la sua derivata

A livello di calcolo approssimato saprà:

  • determinare l’approssimazione lineare di una funzione in un punto
  • calcolare in modo approssimato integrali definiti utilizzando la formula del punto medio e stimare l’errore commesso
  • applicare il metodo di Eulero per risolvere in modo approssimato un problema di Cauchy

A livello di calcolo esatto saprà:

  • calcolare semplici limiti di funzioni
  • calcolare la derivata di una funzione e le sue primitive, in alcuni casi notevoli
  • determinare gli intervalli di monotonia e quelli di convessità/concavità di una funzione
  • calcolare integrali definiti
  • risolvere alcune particolari equazioni differenziali

Autonomia di giudizio

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:

  • costruire ragionamenti fondati, con la necessaria coerenza logica
  • riconoscere argomentazioni corrette ed individuare ragionamenti fallaci
  • riconoscere ed individuare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni
  • collegare e commentare criticamente i principali risultati teorici illustrati nel corso dell’insegnamento, individuando i legami che tra essi intercorrono

Capacità di apprendimento

Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà affrontare nuovi semplici problemi che richiedano competenze interdisciplinari, analizzando possibili strategie di risoluzione.

 

Knowledge and understanding

At the end of this teaching the student will have to:

  • recognize graphs and asymptotic properties of elementary functions and be able to identify the fundamental aspects in terms of mathematical model
  • know the definition of limit, its meaning, its graphical interpretations and remember the main theoretical results on limits
  • know the definition of derivative, its interpretations, the main results on differential calculus
  • explain the problem of linear local approximation of a function in a point
  • describe the definition of definite integral of a function on an interval and its interpretations
  • state the Fundamental Theorem of integral calculus and interpret it, highlighting its centrality with respect to the notions of derivative and definite integral
  • know the meaning of a differential equation, its relevance in terms of mathematical model and know how to discuss the solvability, even approximate, of some classes of differential equations

Apply the knowledge and comprehension

At the end of this teaching the student will have developed the ability to work both on graphical and calculus aspects, the latter both approximate and exact.

In particular, concerning graphs, he will be able to:

  • obtain from the graph of a function the graph of new functions, through geometric transformations or through the use of the properties of the composition of two or more functions
  • draw the graph of the derivative of a function starting from the graph of the function itself, analyzing the links between a function and its derivative
  • draw the graph of the primitives of a function starting from the graph of the function itself, analyzing the links between a function and its derivative

Concerning the approximate calculus, he will be able to:

  • determine the linear approximation of a function at a point
  • approximate definite integrals using the midpoint formula and estimate the error committed
  • apply Euler's method to solve approximately a Cauchy problem

Concerning the exact calculus, he will be able to:

  • compute simple limits of functions
  • compute the derivative of a function and its primitives, in some particular cases
  • determine the monotonicity intervals and the convexity/concavity intervals of a function
  • compute definite integrals
  • solve some particular differential equations

Judgement autonomy

At the end of this teaching the student will know how to:

  • build well-founded reasoning, with the necessary logical coherence
  • recognize correct arguments and identify fallacious reasoning
  • recognize and identify logical arguments with a clear identification of assumptions and conclusions
  • connect and comment on the main theoretical results illustrated during the course, identifying the links between them

Learning ability

At the end of this teaching the student will be able to face new simple problems that require interdisciplinary skills, analyzing possible resolution strategies.

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Programma

Funzioni reali di variabile reale: definizioni di base, grafico delle funzioni elementari, trasformazioni di funzioni, funzioni composte e inverse. Limiti e continuità di funzioni. Funzioni continue su un intervallo. Derivate: definizioni, calcolo, teoremi e applicazioni. Approssimazioni lineari. Primitive di una funzione, integrali indefiniti. Integrali definiti, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Successione geometrica. Approssimazione di integrali definiti e di soluzioni di equazioni. Equazioni differenziali.

Real functions of real variable: definitions, graph of elementary functions, main transformation of functions, composite and inverse functions. Limits and continuity of functions. Continuous functions on an interval. Derivatives: definitions, computations, theorems and applications. Linear approximations. Indefinite and definite integrals. Fundamental theorem of calculus. Geometric progression. Approximation of definite integrals and of solutions of equations. Differential equations.

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Modalità di insegnamento

L'insegnamento prevede lezioni frontali ed esercitazioni. Le lezioni si terranno esclusivamente in presenza.

The course includes lectures and exercises. The lessons will be only held in presence.

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Modalità di verifica dell'apprendimento

La prenotazione agli appelli d'esame tramite Esse3 è obbligatoria e indispensabile. Non si accetteranno prenotazioni pervenute via mail e non verranno ammessi studenti che non si siano prenotati. Inoltre, per una migliore organizzazione dei Laboratori informatici, chi si prenota e non si presenta all'esame senza prima avvisare i docenti non avrà diritto a partecipare all'appello successivo.

Per sostenere l'esame è necessario presentarsi con un documento di riconoscimento (preferibilmente la smartcard) e ricordare le credenziali di Ateneo (username e password), che dovranno essere digitate sul computer dell'aula per iniziare le prove.

L'esame consiste in un test e una prova svolte in modalità informatizzata. Non è prevista la possibilità di ritirarsi dopo aver iniziato le prove: la prova verrà in ogni caso valutata.

Durante l'esame non è consentito l'uso di strumenti elettronici e non è permesso consultare testi o appunti. Durante la prova informatizzata (e non durante il test preliminare) si può utilizzare la calcolatrice disponibile sul computer.

E' assolutamente vietato, pena l'esclusione dall'esame, tenere alla postazione informatica telefoni cellulari, tablet e simili (anche se spenti, in tasca,..). La presenza di uno di questi apparecchi, anche spento, comporterà l'espulsione immediata dall'aula e l'annullamento della prova.

Test di accertamento delle competenze di base

Il test consiste nella risposta a cinque domande a scelta multipla, che hanno l'obiettivo di verificare le conoscenze di base dello studente.

La durata è di venti minuti; per superare il test occorre rispondere in modo corretto ad almeno 4 domande su 5. L'esito è: superato o non superato ed è noto immediatamente al termine del test stesso; chi non supera il test non può accedere alla prova d'esame.

Prova d'esame (esercizi e teoria)

Questa prova verte sugli argomenti trattati durante le lezioni ed esercitazioni; consiste nello svolgimento di esercizi e nella risposta a domande di carattere teorico o logico-deduttivo.

La prova è valutata in trentesimi ed è superata con una valutazione almeno pari a 18/30.

Il test e la prova d'esame devono essere superati entrambi nello stesso appello: chi non supera la prova d'esame deve ripetere anche il test.

Informazioni per gli studenti con DSA

https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disturbi-specifici-di-apprendimento-dsa/supporto-agli-studenti-con

La prova di esame sarà effettuata in presenza salvo eccezioni in accordo con le disposizioni di Ateneo

Booking for exam sessions through Esse3 is mandatory and essential. Reservations received via e-mail will not be accepted and students who have not booked will not be admitted. Moreover, for a better organization of the IT laboratories, those who book and do not show up without first notifying the teachers will not be entitled to participate in the next exam.

To take the exam, you need to present yourself with an identification document (preferably the smartcard) and remember the University credentials (username and password), which must be typed on the classroom computer to start the tests.

The exam consists of a test and a test carried out in computerized mode. It is not possible to withdraw after starting the tests: the test will in any case be evaluated.

The use of electronic tools is not allowed during the examination and it is not allowed to consult texts or notes. During the computerized test (and not during the preliminary test) the calculator available on the computer can be used.

It is absolutely forbidden, under penalty of exclusion from the examination, to keep mobile phones, tablets and the like at the computer station (even if switched off, in your pocket, ..). The presence of one of these devices, even if switched off, will result in the immediate expulsion from the courtroom and the cancellation of the trial.

Test of assessment of basic skills

The test consists of the answer to five multiple-choice questions, which have the objective of verifying the student's basic knowledge.

The duration is twenty minutes; to pass the test you must correctly answer at least 4 questions out of 5. The result is: passed or failed and is known immediately at the end of the test; who does not pass the test can not access the exam.

Exam test (exercises and theory)

This test focuses on the topics covered during lectures and exercises; it consists in carrying out exercises and answering questions of a theoretical or logical-deductive nature.

The test is evaluated in thirtieths and is passed with a rating of at least 18/30.

The test and the exam must be passed both in the same appeal: those who fail the exam must also repeat the test.

Information for students with DSA

https://www.unito.it/servizi/lo-studio/studenti-con-disturbi-specifici-di-apprendimento-dsa/supporto-agli-studenti-con

The exam will be carried out in presence; exceptions are treated according to the indications of the University.

Testi consigliati e bibliografia

Oggetto:

W. Dambrosio, Analisi matematica - fare e comprendere, Zanichelli, 2018

James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile. Ed. Apogeo

S. Console- M. Roggero- D. Romagnoli,   Matematica per le Scienze Appicate,  Ed. Levrotto&Bella

E. Ambrogio-M. Garrione-D. Romagnoli,  Esercizi di Matematica per le Scienze Appicate,  Ed. Levrotto&Bella

W. Dambrosio, Analisi matematica - fare e comprendere, Zanichelli, 2018

James Stewart, Calcolo. Funzioni di una variabile. Ed. Apogeo

S. Console- M. Roggero- D. Romagnoli,   Matematica per le Scienze Appicate,  Ed. Levrotto&Bella

E. Ambrogio-M. Garrione-D. Romagnoli,  Esercizi di Matematica per le Scienze Appicate,  Ed. Levrotto&Bella



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    Ultimo aggiornamento: 05/10/2023 13:57
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